Anuidades são produtos financeiros vendidos por instituições financeiras e podem ser usados para gerar um fluxo constante de fluxo de caixa por algum tempo futuro. Os indivíduos normalmente fazem depósitos em uma conta até uma determinada data e depois recebem pagamentos por um determinado número de períodos. Esses pagamentos geralmente são iguais ou nivelados, mas também podem variar, conhecidos como anuidade sem nível.
Alguns exemplos de situações em que os indivíduos usariam anuidades são contas de aposentadoria, pagamento de empréstimos, seguros de vida e fundos de pensão.
Anuidade-imediata
Uma anuidade imediata ou anuidade devida é uma anuidade em que os pagamentos são feitos no final de cada período de tempo. Normalmente, os indivíduos estão interessados no valor presente de seu fluxo de caixa futuro.
O valor presente da anuidade é simplesmente a soma dos valores presentes de cada pagamento. Isso pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
$$PV=P\left(\frac{1-(1+r)^{-n}}{r} \right)$$
Onde ‘P’ é o valor do pagamento, ‘r’ é a taxa de juros por período de pagamento e ‘n’ é o número de pagamentos.Anuidade devida
Uma anuidade devida é semelhante a uma anuidade ordinária, exceto que o pagamento é recebido no início de cada período de tempo, e não no final. Este tipo de anuidade não é tão comum, mas é outra opção de investimento viável que fornece um fluxo constante de renda. Um exemplo comum de anuidade devida são os pagamentos de aluguel recebidos pelo proprietário. Uma anuidade vencida é mais benéfica para o destinatário, pois fornece um fluxo de caixa mais alto e mais rápido, que pode ser investido por um longo período de tempo.
Por outro lado, as pessoas que pagam a anuidade perdem esse benefício, pois são obrigadas a fazer o pagamento mais cedo. O tipo de anuidade é acordado no contrato com o beneficiário. Semelhante às anuidades ordinárias, muitas vezes é desejável comparar várias opções para anuidades que podem ser realizadas comparando os valores presentes dos fluxos de renda. O valor presente pode ser calculado com a seguinte fórmula:
$$PV=P+P\left(\frac{1-(1+r)^{-(n-1)}}{r} \right)$$
Onde ‘P’ é o pagamento pago ou recebido, ‘r’ é a taxa de juros e ‘n’ é o número de períodos de tempo.Uma perpetuidade é um tipo de anuidade que tem um prazo infinito. Semelhante às anuidades, as perpetuidades podem ser vencidas ou recebidas no início ou no final de cada período de tempo, conforme especificado em um contrato.
Como as perpetuidades são infinitas, não há como calcular o valor acumulado do título, mas podemos calcular o valor presente utilizando o conceito de série geométrica. A fórmula para calcular o valor presente de uma perpetuidade ordinária (pagamento devido ou recebido no final do período de tempo) é:
$PV=\frac{P}{r}$
Onde ‘P’ é o pagamento devido ou recebido e ‘r’ é a taxa de desconto. Da mesma forma, a fórmula para o valor presente de uma perpetuidade devida (pagamento devido ou recebido no início do período de tempo) é:$PV=\frac{P}{r}+P_{0}$
Onde $P_{0}$ é o pagamento inicial.
Em alguns casos, anuidades e perpetuidades serão compostas com mais frequência do que apenas anualmente. Quando isso ocorre, devemos calcular a taxa efetiva de juros antes de implementar qualquer uma das fórmulas que usamos acima. A fórmula para calcular a taxa de juros efetiva é:
$$r_{e}=\left( 1+\frac{r}{n} \right)^n -1$$
Onde ‘r’ é a taxa de juros anual, ‘n’ é o número de períodos compostos por ano e ‘t’ é o número de anos. A partir daqui, usaremos a fórmula do valor presente para a anuidade ou perpetuidade típica, conforme declarado anteriormente.Até agora, discutimos anuidades e perpetuidades de nível que têm o mesmo pagamento ou fluxo de caixa para cada período de tempo. No entanto, existem alguns contratos com valores de pagamento variáveis, conhecidos como anuidades não niveladas. Dois tipos de anuidades não niveladas são aritméticos e geométricos. As anuidades aritméticas têm uma diferença comum entre os pagamentos sucessivos e as anuidades geométricas têm uma razão comum.
Anuidade crescente/ decrescente geométrica
Uma anuidade geométrica é uma anuidade que tem pagamentos que criam uma progressão geométrica. Em vez de ter uma diferença comum como em uma anuidade aritmética, uma anuidade geométrica tem um múltiplo comum. Por exemplo, uma anuidade pode ter uma taxa de crescimento de 10% ao ano, de modo que cada pagamento sucessivo seria 10% maior que o anterior. Se o múltiplo comum for positivo, a anuidade está aumentando, enquanto se o múltiplo comum for negativo, a anuidade
está diminuindo. A fórmula para calcular o valor presente de uma anuidade geométrica é:
Uma anuidade geométrica é uma anuidade que tem pagamentos que criam uma progressão geométrica. Em vez de ter uma diferença comum como em uma anuidade aritmética, uma anuidade geométrica tem um múltiplo comum. Por exemplo, uma anuidade pode ter uma taxa de crescimento de 10% ao ano, de modo que cada pagamento sucessivo seria 10% maior que o anterior. Se o múltiplo comum for positivo, a anuidade está aumentando, enquanto se o múltiplo comum for negativo, a anuidade
está diminuindo. A fórmula para calcular o valor presente de uma anuidade geométrica é:
$$PV=\frac{p}{r-g}\left[ -1\left( \frac{1+g}{1+r} \right)^n \right]$$
Onde ‘P’ é o primeiro pagamento, ‘r’ é a taxa de juros, ‘g’ é a taxa de crescimento e ‘n’ é o número de períodos.Prazo de anuidade
O número de períodos de uma anuidade ou a duração da anuidade é referido como o termo da anuidade. Seria útil encontrar o termo da anuidade ao calcular como tempo levará para saldar uma dívida com um determinado pagamento regular. A equação para resolver o prazo da anuidade é:
$$n=ln\left[ \left( 1-\frac{PV(r)}{P} \right)^{-1} \right]:ln(1+r)$$
Onde ‘PV’ é o valor presente da anuidade, ‘P’ é o valor do pagamento ou fluxo de caixa e ‘r’ é a taxa de juros.
