Em todos os casos em que o dinheiro é emprestado ou emprestado, haverá juros envolvidos. Um credor receberá juros, pois espera um retorno adicional em troca de emprestar dinheiro. Um mutuário pagará juros, pois está usando o dinheiro do credor no lugar do seu próprio.
Esta seção incluirá uma descrição dos vários conceitos associados à teoria dos juros.
Juros Simples
Como está implícito no nome, os juros simples são os juros mais diretos para calcular. Para os fins deste artigo, usaremos r para denotar a taxa de juros anual, P para denotar o valor principal ou valor presente, t para denotar o tempo e A para denotar o valor após a aplicação dos juros ou o valor futuro do investimento.
A fórmula de juros simples é:
$$M = C(1 + rt)$$
Onde m montante total acumulado, c é o capital, r é a taxa de juros por ano em porcentagem e t o período ou tempo.Juros compostos
O próximo tipo de juros que discutiremos são os juros compostos, que acumulam juros muito mais rapidamente do que os juros simples. Com juros compostos, ganhamos juros sobre nossos juros. Ou seja, os juros são ganhos sobre o valor anterior, não apenas sobre o valor principal do investimento ou empréstimo. A fórmula dos juros compostos é:
$$M=C\left ( 1+\frac{r}{n} \right )^{n}$$
Onde M é o montante, C é o capital, r a taxa de juros, n é a frequência de composição e t é o período geral de tempo em que os juros são aplicados (expresso usando as mesmas unidades de tempo que ‘r’, geralmente anos).
Dado ‘n’ o número de períodos compostos por ano. Quanto mais períodos compostos por ano, mais juros são acumulados. Dito isto, a composição contínua acumulará mais juros.
A fórmula para juros compostos contínuos é:
Onde M é o montante, C é o capital, r a taxa de juros, n é a frequência de composição e t é o período geral de tempo em que os juros são aplicados (expresso usando as mesmas unidades de tempo que ‘r’, geralmente anos).
Dado ‘n’ o número de períodos compostos por ano. Quanto mais períodos compostos por ano, mais juros são acumulados. Dito isto, a composição contínua acumulará mais juros.
A fórmula para juros compostos contínuos é:
$$M=Ce^{rt}$$
Com r sendo a taxa escrita como um decimal em vez de um percentual, t o tempo ou período e o número de Euler.
Taxa efetiva
A maioria dos investimentos e empréstimos são cotados usando a taxa nominal, que é a taxa de juros periódica multiplicada pelo número de períodos por ano. No entanto, a taxa nominal não leva em conta a composição que normalmente ocorre. Portanto, usamos a taxa efetiva como uma medida mais precisa do valor dos juros cobrados ou acumulados.
Com r sendo a taxa escrita como um decimal em vez de um percentual, t o tempo ou período e o número de Euler.
Taxa efetiva
A maioria dos investimentos e empréstimos são cotados usando a taxa nominal, que é a taxa de juros periódica multiplicada pelo número de períodos por ano. No entanto, a taxa nominal não leva em conta a composição que normalmente ocorre. Portanto, usamos a taxa efetiva como uma medida mais precisa do valor dos juros cobrados ou acumulados.
A taxa efetiva também pode ser usada para comparar com precisão diferentes opções de investimento. Se os juros forem compostos em ‘n’ períodos, a fórmula da taxa de juros efetiva , é:
$$r_{e}=(1+\frac{r}{n})^{n}-1$$
Se os juros forem compostos continuamente, a taxa de juros efetiva é dada por:
$r_{e}=e^{r}-1$
Inflação e Taxa de Juros Real
A inflação é o aumento geral dos preços, que é mais frequentemente um sinal de uma economia em crescimento. No entanto, a inflação corrói os investimentos e os investidores precisam construir cuidadosamente estratégias que levem em conta a inflação. Aqueles que economizam para atividades no futuro, como aposentadoria ou aquisições, correm um risco particularmente alto de inflação.
Inflação e Taxa de Juros Real
A inflação é o aumento geral dos preços, que é mais frequentemente um sinal de uma economia em crescimento. No entanto, a inflação corrói os investimentos e os investidores precisam construir cuidadosamente estratégias que levem em conta a inflação. Aqueles que economizam para atividades no futuro, como aposentadoria ou aquisições, correm um risco particularmente alto de inflação.
A taxa de juros real é a taxa que explica a inflação. A taxa real é encontrada simplesmente subtraindo a taxa de inflação prevista da taxa nominal do investimento ou empréstimo. A taxa de inflação de longo prazo no Brasil é de e IPCA e IPCA+ (com isto é possível conjecturar o tempo de dobra).
Taxa de Desconto
A taxa de desconto é frequentemente usada de forma intercambiável com a taxa de juros. No entanto, a taxa de desconto refere-se à taxa de juros que precisaríamos ganhar sobre uma determinada quantia de dinheiro hoje para acabar com uma determinada quantia no futuro.
A taxa de desconto também pode ser definida como a taxa usada na análise de fluxo de caixa descontado. A análise do fluxo de caixa descontado é o cálculo do valor presente dos fluxos de caixa futuros. Em usos práticos, alguns títulos financeiros são vendidos abaixo do valor nominal para atrair os compradores a investir. Quando um instrumento financeiro é vendido abaixo do valor nominal, ele é classificado como abaixo do par. A diferença entre o valor de face e o preço do título dividido pelo valor de face é o fator de desconto, que é medido como uma porcentagem. A taxa de desconto é a taxa na qual o preço de venda acumularia até o valor de face em um período de tempo especificado. Desconto puro, ou títulos de cupom zero, são exemplos típicos desse fenômeno. A taxa de desconto de um título de desconto puro pode ser encontrada com a fórmula:
A taxa de desconto é frequentemente usada de forma intercambiável com a taxa de juros. No entanto, a taxa de desconto refere-se à taxa de juros que precisaríamos ganhar sobre uma determinada quantia de dinheiro hoje para acabar com uma determinada quantia no futuro.
A taxa de desconto também pode ser definida como a taxa usada na análise de fluxo de caixa descontado. A análise do fluxo de caixa descontado é o cálculo do valor presente dos fluxos de caixa futuros. Em usos práticos, alguns títulos financeiros são vendidos abaixo do valor nominal para atrair os compradores a investir. Quando um instrumento financeiro é vendido abaixo do valor nominal, ele é classificado como abaixo do par. A diferença entre o valor de face e o preço do título dividido pelo valor de face é o fator de desconto, que é medido como uma porcentagem. A taxa de desconto é a taxa na qual o preço de venda acumularia até o valor de face em um período de tempo especificado. Desconto puro, ou títulos de cupom zero, são exemplos típicos desse fenômeno. A taxa de desconto de um título de desconto puro pode ser encontrada com a fórmula:
$$P=\frac{V}{(1+t)^t}$$
Onde P é o preço pelo qual o título está sendo vendido e V é o valor de face (valor de resgate).
Valor do dinheiro no tempo
A ideia fundamental do valor do dinheiro no tempo é que um Real hoje não vale um Real amanhã. O mesmo Real hoje vale menos no futuro. A primeira razão para isso é que os consumidores preferem o consumo presente ao consumo futuro. A fim de incentivar o consumo futuro, os consumidores precisarão receber mais em um momento futuro. Assim, à medida que aumenta o desejo de consumo presente, o valor do o Real vai cair. Outro motivo para a queda na valorização do Real futuro é a inflação, que é a alta generalizada dos preços. À medida que os preços aumentam, o poder de compra de um Real diminui. Por último, se existir alguma incerteza ou risco associado ao fluxo de caixa futuro, o fluxo de caixa futuro terá um valor inferior.
A ideia fundamental do valor do dinheiro no tempo é que um Real hoje não vale um Real amanhã. O mesmo Real hoje vale menos no futuro. A primeira razão para isso é que os consumidores preferem o consumo presente ao consumo futuro. A fim de incentivar o consumo futuro, os consumidores precisarão receber mais em um momento futuro. Assim, à medida que aumenta o desejo de consumo presente, o valor do o Real vai cair. Outro motivo para a queda na valorização do Real futuro é a inflação, que é a alta generalizada dos preços. À medida que os preços aumentam, o poder de compra de um Real diminui. Por último, se existir alguma incerteza ou risco associado ao fluxo de caixa futuro, o fluxo de caixa futuro terá um valor inferior.
Valor futuro
Em relação ao valor do dinheiro no tempo, o valor futuro é o valor de um ativo atual em um momento específico no futuro, dada uma taxa de juros. O valor futuro é usado para comparar o lucro de vários investimentos no futuro. Como o futuro é desconhecido, alguns cálculos de valores futuros não são tão fáceis de determinar. Por exemplo, as ações são altamente voláteis e os pagamentos de dividendos podem mudar em taxas variáveis. No entanto, títulos, anuidades e outros títulos fixos podem ser facilmente comparados usando um cálculo de valor futuro.
A fórmula usada para determinar o valor futuro, de um montante fixo com capitalização é:
Em relação ao valor do dinheiro no tempo, o valor futuro é o valor de um ativo atual em um momento específico no futuro, dada uma taxa de juros. O valor futuro é usado para comparar o lucro de vários investimentos no futuro. Como o futuro é desconhecido, alguns cálculos de valores futuros não são tão fáceis de determinar. Por exemplo, as ações são altamente voláteis e os pagamentos de dividendos podem mudar em taxas variáveis. No entanto, títulos, anuidades e outros títulos fixos podem ser facilmente comparados usando um cálculo de valor futuro.
A fórmula usada para determinar o valor futuro, de um montante fixo com capitalização é:
$$VF=P(1+\frac{r}{n})^{nt}$$
para composição contínua.
Valor Presente
O oposto do valor futuro, é o valor presente. O valor presente representa o valor de um fluxo futuro de pagamentos ou soma de dinheiro dada uma taxa de juros específica. A taxa de juros pela qual o dinheiro é descontado é chamada de taxa de desconto. Semelhante ao valor futuro, o valor presente pode ser usado para comparar com precisão as opções de investimento ou empréstimo. Os valores futuros conhecidos são descontados pela taxa de desconto de volta ao tempo zero e quanto maior a taxa de desconto, menor o valor presente. A fórmula para o valor presente de um montante fixo é:
O oposto do valor futuro, é o valor presente. O valor presente representa o valor de um fluxo futuro de pagamentos ou soma de dinheiro dada uma taxa de juros específica. A taxa de juros pela qual o dinheiro é descontado é chamada de taxa de desconto. Semelhante ao valor futuro, o valor presente pode ser usado para comparar com precisão as opções de investimento ou empréstimo. Os valores futuros conhecidos são descontados pela taxa de desconto de volta ao tempo zero e quanto maior a taxa de desconto, menor o valor presente. A fórmula para o valor presente de um montante fixo é:
$$P=M(1+\frac{r}{n})^{-nt}$$
se for composto continuamente.
De forma análoga, o valor presente de um fluxo de renda é dado por:
$$P=\int_{0}^{T}P(t)e^{-nt}dt$$
Onde P(t) é o fluxo de renda em cada valor de ‘t’.
O valor presente líquido, muitas vezes abreviado como VPL, é a diferença entre o valor presente das entradas de caixa e o valor presente das saídas de caixa. O valor presente líquido é frequentemente usado no orçamento para determinar a lucratividade de um projeto ou investimento.
A fórmula do valor presente líquido é:
$$VPL=\sum_{i=1}^{T}\frac{c_{i}}{{(1+r)^i}}-C_{0}$$
Onde tem $c_{i}$ como fluxo de caixa e $c_{0}$ é a saída de caixa ou investimento inicial.
